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1) y^2+xy=sinx 求y'
運用隱微分就可以找到y'了。
等式兩邊同時對x微分，可得：
2yy'+y+xy'=cosx
y'(2y+x)=cosx-y (將含有y'的部分配方法)
y'=(cosx-y)/(2y+x) (兩邊同除(2y+x))
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2) ∫ (x-1)(2-x)^1/2 dx
利用積分的取代法，令2-x=u，可得-dx=du，所以dx=-du，再變換原式
∫ (x-1)*u^1/2 -du ，而因為u=2-x，所以x-1=1-u，再換到原式
∫ (1-u)*u^1/2 -du ，整理後可得 - ∫ u^1/2 - u^3/2 du ，即可進行積分，可得：
-(2/3*u^3/2 - 2/5*u^5/2)+C = -2/3*u^3/2 + 2/5*u^5/2 + C
因為u是我們自己令的，題目並沒有出現，所以將2-x=u帶回結果，就是答案
-2/3*(2-x)^3/2 + 2/5*(2-x)^5/2 + C
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3) ∫ 1/(x^3+x) dx
利用部分分式法將此方程式拆開後積分。
1/(x^3+x) = 1/(x(x^2+1)) = a/x + (bx + c)/(x^2+1)
= (a(x^2+1) + bx^2 + cx) / (x(x^2+1))，因為 (a(x^2+1) + bx^2 + cx) 必須=1，
所以可以得到以下關係式
a+b=0
c=0
a=1
所以a=1，b=-1，c=0，題目改寫為：
∫ 1/(x^3+x) dx = ∫ 1/x + -x/(x^2+1) dx = ∫ 1/x dx - ∫ x/(x^2+1) dx

∫ 1/x dx的部分是lnx沒問題

∫ x/(x^2+1) dx的部分必須再用一次取代法做，
令x^2+1=u，可得2xdx=du，xdx=1/2du，換到原式，
∫ x/(x^2+1) dx = 1/2 ∫ 1/u du = 1/2*lnu = 1/2 ln(x^2+1)

所以∫ 1/(x^3+x) dx = ∫ 1/x dx - ∫ x/(x^2+1) dx = lnx - 1/2 ln(x^2+1) + C
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4) ∫ x^3/(x^2-2x-15) dx
因為分子的最高次方(3)大於分母的最高次方(2)，所以此多項式還沒除到最簡，所以可以繼續整理，可得：
∫ (x+2) + (19x+30) / (x^2-2x-15) dx
= ∫ (x+2) dx + ∫ (19x+30) / (x^2-2x-15) dx

∫ (19x+30) / (x^2-2x-15) dx 的部分也是利用部分分式法，
(19x+30) / (x^2-2x-15) = (19x+30)/( (x-5)(x+3) ) = A/(x-5) + B/(x+3)
= ( A(x+3)+B(x-5) ) / ( (x-5)(x+3) )
因為A(x+3)+B(x-5)必須等於19x+30，所以可以得到以下關係式
A+B=19
3A-5B=30
所以A=125/8，B=27/8
∫ (19x+30) / (x^2-2x-15) dx = 125/8 ∫ 1/(x-5) dx + 27/8 ∫ 1/(x+3) dx
= 125/8*ln(x-5) + 27/8*ln(x+3) + C

最後整理
∫ x^3/(x^2-2x-15) dx = ∫ (x+2) dx + ∫ (19x+30) / (x^2-2x-15) dx
= 1/2x^2 + 2x + 125/8*ln(x-5) + 27/8*ln(x+3) + C

參考資料 自己

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